home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Graphics Plus / Graphics Plus.iso / msdos / raytrace / pov / gen / xtal4pov / intro.doc next >
Encoding:
Text File  |  1994-09-23  |  23.6 KB  |  559 lines
  1.  
  2.         Some basic information on geometrical crystallography
  3.  
  4.  
  5.  
  6. This is a short overview over some crystallographic definitions and facts
  7. that might be helpful when using XTAL4POV. It is by no means a complete
  8. introduction to geometrical crystallography, but gives only a few hints.
  9. If you are interested in getting deeper into this, I highly recommend
  10. reading a good textbook on elementary crystallography.
  11.  
  12. Well, here we go. First, a crystal is a solid with the unique property of
  13. being built up of a lattice of so-called unit cells, which is strictly
  14. periodic in all three dimensions of space. This 3-dimensional periodicity
  15. imposes severe restrictions on the possible symmetries and shapes. I want to 
  16. emphasize here, that the description of crystal symmetry is not a matter of
  17. empiric observations, though most of it was found out that way, but is one 
  18. of the subjects of Group Theory, which is *REALLY* hardcore mathematics. Only 
  19. very few crystallographers, if any, are able to deal with the complete Group
  20. Theory, most of us are happy, if we understand the part we have to use. So
  21. you can be sure that the numbers you will read in the following are correct,
  22. and if I tell you there are exactly 32 crystal classes or point groups, as the
  23. mathematicians call them, you will never have the chance to find a 33rd, 
  24. because this number is proven theoretically.
  25.  
  26. When we want to decribe something in 3D-space, we use a coordinate system,
  27. and for convenience we use a so-called cartesian coordinate system, where
  28. three axes are perpendicular to each other and have the same scale. Un-
  29. fortunately, crystal symmetry forces us to use other coordinates, too, and
  30. in fact, there are 7 different coordinate systems, the Crystal Systems, to 
  31. be used in crystallography. These are: 
  32.  
  33. 1.  The Cubic (or Isometric) System
  34.     Three orthogonal axes with identical scales, just as the well-known
  35.     cartesian system.
  36.  
  37. 2.  The Hexagonal System
  38.     Two axes with the same scale and with an angle of 120° between them, and 
  39.     perpendicular to both of them a third one, the main axis, which has a 
  40.     different scale. This axis is conventionally called c-axis.
  41.  
  42. 3.  The Trigonal System
  43.     Here we have a little problem. We can describe a trigonal crystal with 
  44.     a hexagonal coordinate system as above, so an extra system would not be
  45.     necessary, but we can as well use the so-called rhombohedral coordinate
  46.     system with three axes of identical scale and identical angles between
  47.     them, which are not orthogonal to each other. This is quite complicated,
  48.     and therefore I don't use this system here, but describe trigonal crys-
  49.     tals in terms of the hexagonal system.
  50.  
  51. 4.  The Tetragonal System  
  52.     Three orthogonal axes, but one axis, the main axis or c-axis, has a 
  53.     different scale than the two others. 
  54.    
  55. 5.  The Orthorhombic System
  56.     Three orthogonal axes with a different scale for each.
  57.  
  58. 6.  The Monoclinic System
  59.     Three axes with different scales, and one of the angles is >= 90°.
  60.     Usually this is the angle between the a-axis and the c-axis, so this
  61.     angle is called beta, and the b-axis is orthogonal to the others and
  62.     is therefore called unique.
  63.  
  64. 7.  The Triclinic (or Anorthic) System
  65.     Three axes with different scales and non-orthogonal angles between them.
  66.  
  67. OK, now we know how to describe the overall symmetry of a crystal and can go
  68. into the details. The symmetry of a crystal is described by a set of symmetry 
  69. elements, namely rotation axes, roto-inversion axes and/or mirror planes in 
  70. certain directions. These directions are the only directions where symmetry 
  71. elements can occur, and they are different for the different crystal systems.
  72. So, what symmetry elements do we have?
  73.  
  74. Rotation Axes:
  75.  
  76. 1.  The Onefold Axis - Symbol 1
  77.     Well, this is not really a useful symmetry element, for it means that if
  78.     we turn a crystal around an angle of 360°, we will not be able to discern
  79.     this new position from the original one. Of course not, and therefore
  80.     this symmetry element is usually never mentioned, except in the triclinic
  81.     system, where it can be the only symmetry element present.
  82.  
  83. 2.  The Twofold Axis - Symbol 2
  84.     If we turn a crystal 180° around this axis, we cannot see any difference
  85.     to the original position, and two such rotations brings us back to the 
  86.     origin, hence the name.
  87.  
  88. 3.  The Threefold Axis - Symbol 3
  89.     Here we can rotate 3 times with an angle of 120° without seeing any 
  90.     difference between the positions.
  91.  
  92. 4.  The Fourfold Axis - Symbol 4
  93.     4 rotations with an angle of 90°.
  94.  
  95. 5.  The Sixfold Axis - Symbol 6
  96.     Finally we have an axis, around which we can rotate 6 times with steps of
  97.     60°.
  98.  
  99. A word to the usage of these symbols: We always choose the highest possible
  100. symmetry, so for example, a sixfold axis contains of course twofold and
  101. threefold axes, but we don't mention them, because we know they must be there
  102. when we see a sixfold axis.
  103.  
  104. Roto-Inversion Axes:
  105.  
  106. 1.  The Center of Symmetry or Center of Inversion - Symbol -1
  107.     Well, actually the symbol is 1-bar, a 1 with a bar over it, but how do
  108.     this in plain ASCII? The same applies to the other symbols. But what 
  109.     does this symbol mean? Not so easy to explain without a picture. Imagine
  110.     a cartesian coordinate system with a center of inversion in the origin.
  111.     Then a point with the coordinates (x,y,z) will be projected onto another
  112.     point with the coordinates (-x,-y,-z). You see what I mean? Well, at 
  113.     least try it. Usually, a -1 is never mentioned in the crystal class sym-
  114.     bol, it is present or absent depending on the other symmetry elements.
  115.     The only exception is again the triclinic system, where it can be the
  116.     only symmetry element.
  117.  
  118. 2.  The Mirror Plane - Symbol m
  119.     I know you expected the symbol -2 in this place, didn't you? You've got
  120.     it, for -2 and m are identical, and we prefer m for some good reasons,
  121.     the explanation of which will go far beyond the scope of this text. A
  122.     mirror plane just acts as a mirror. No, it's not the same as a twofold
  123.     axis: Put your hands on the table, side by side, and put a vertical
  124.     mirror between them. Then you will realize, that the mirror image of one
  125.     hand has the same orientation as the other hand. There is no rotation
  126.     that can achieve this.
  127.  
  128. 3.  The Threefold Inversion Axis - Symbol -3
  129.     How shall I describe it without a picture? Well, rotate the crystal 
  130.     around 120° and then invert it through its center! Easy enough, don't
  131.     you think so? It's indeed really hard to explain, and perhaps it will 
  132.     help when I tell you that for example an octahedron has such -3 -axes
  133.     right through the centres of its triangular faces. Take some cardboard
  134.     and build an octahedron, I know this will help.
  135.  
  136. 4.  The Fourfold Inversion Axis - Symbol -4
  137.     Same as above, but rotation angle 90°. Example: a tetrahedron has -4 
  138.     axes right through the middle of opposite edges. Build one and try!
  139.  
  140. 5.  The Sixfold Inversion Axis - Symbol -6
  141.     Rotation of 60° and inversion. No example readily available. Use your
  142.     brain and try to imagine how it works.
  143.  
  144. Hard stuff? Not really, the problem is that I can't show pictures and give
  145. you crystal models. But anyway, if you really have problems with this, and I
  146. know there are a lot of people who have, don't mind, because the program
  147. handles this for you. Just stick to the instructions and play around, and
  148. you'll be able to render perfect crystals.
  149.  
  150. So far we have the crystal systems and the various symmetry elements, and now
  151. we have to put them together to get the actual crystal classes. Remember: The
  152. basis of this is mathematics, and therefore you can be sure, that the above-
  153. mentioned 7 systems and 10 symmetry elements are definitely all we have. Due
  154. to the restrictions caused by threedimensional periodicity, we can't either
  155. have an eighth crystal system or an eleventh symmetry element, e.g. a five-
  156. fold axis. It's strictly prohibited!!!
  157.  
  158. So now we know what tools we have. But how to use them? Well, as I 
  159. mentioned above, there exists a specific set of possible symmetry-bearing
  160. directions for each crystal system, which will be described in the following.
  161. But first keep in mind that all symmetry elements intersect in exactly one
  162. point in the center of the crystal, that's why the mathematicians speak of
  163. point groups.
  164.  
  165. 1.  Triclinic system
  166. Here we have no specific directions, the center of the crystal either is a 
  167. center of symmetry, or it is not.
  168.  
  169. 2.  Monoclinic system
  170. Here we have one symmetry-bearing direction, and this is the abovementioned
  171. unique axis, usually called the b-axis or direction [010]. In this direction 
  172. we can have a 2 axis, or a m plane perpendicular to it, or both together.
  173. Please note that we describe an axis by it's direction, and a mirror plane by
  174. the direction of it's normal. Furthermore, if there is a mirror plane perpen-
  175. dicular to an axis, we use a / to indicate this in the symbol, e.g. a mirror
  176. plane perpendicular to a 2-fold axis would give the symbol 2/m (pronounced
  177. two over m).
  178.  
  179. 3.  Orthorhombic system
  180. Here we have three possible directions of symmetry identical with the axes of
  181. the system. In all three directions we can have 2-fold axes and/or mirror
  182. planes, so there is always a symbol consisting of three parts, indicating
  183. the symmetry elements in x, y and z, respectively.
  184.  
  185. 4.  Trigonal, tetragonal and hexagonal system
  186. Now things get a little more complicated. As we know, in the tetragonal 
  187. system, for example, the symmetry in x and y must be the same, so if we know
  188. the symmetry in one of them, we aren't interested in the symmetry of the 
  189. other, because we know it already. So we look at a direction just in the 
  190. middle between the two axes. The same applies to the other two systems.
  191. For the all three systems, the first part of the symbol describes the symmetry
  192. in the z-direction, or [001], which can be in the tetragonal system 4, -4 
  193. and, if present, m, in the hexagonal system it can be 6, -6 and m, and finally
  194. in the trigonal system 3, -3, and m. The second part of the point group 
  195. symbol describes the symmetry in direction [100], the a-axis, which can be
  196. 2 and/or m. Finally, in the third part of the symbol, we find the symmetry
  197. of [110] for the tetragonal system, or [120] for the hexagonal system. The
  198. trigonal system doesn't have a third part. The third part of the symbol can
  199. be 2 and/or m.
  200.  
  201. 5.  Cubic system
  202. Well, here things seem to go completely mad. The first direction is [100],
  203. the direction of the axes (yes, of all three axes, because they have the same
  204. symmetry). Here we can have 4, -4, 2, and m. The second direction is [111], 
  205. which is the direction of the space diagonal between two opposite corners,
  206. where we can find 3 or -3, but never a mirror plane. The third direction,
  207. finally, goes parallel to the diagonals of the faces (symbol [110]), and can
  208. have 2, m, or nothing at all.
  209.  
  210. Now let's have a look at the symbols we can construct with these informa-
  211. tions. In crystallography, we use two kinds of symbols, namely the full
  212. symbols containing the complete information, and the short symbols, 
  213. containing only the necessary parts of information. One very important
  214. information is whether a crystal has a center of symmetry or not, so it is 
  215. included here.
  216.  
  217.  
  218. Crystal Class Symbols (Hermann-Mauguin-Symbols)
  219.  
  220. System          Full            Short           Center
  221.  
  222. Triclinic       1               1               no
  223.                 -1              -1              yes
  224.  
  225. Monoclinic      2               2               no
  226.                 m               m               no
  227.                 2/m             2/m             yes
  228.  
  229. Orthorhombic    222             222             no
  230.                 mm2             mm2             no
  231.                 2/m 2/m 2/m     mmm             yes
  232.  
  233. Tetragonal      -4              -4              no
  234.                 4               4               no
  235.                 422             422             no
  236.                 -42m            -42m            no
  237.                 4/m             4/m             yes
  238.                 4mm             4mm             no
  239.                 4/m 2/m 2/m     4/mmm           yes
  240.  
  241. Trigonal        3               3               no
  242.                 32              32              no
  243.                 -3              -3              yes
  244.                 3m              3m              no
  245.                 -3 2/m          -3m             yes
  246.  
  247. Hexagonal       -6              -6              no
  248.                 -6m2            -6m2            no
  249.                 6               6               no
  250.                 622             622             no
  251.                 6/m             6/m             yes
  252.                 6mm             6mm             no
  253.                 6/m 2/m 2/m     6/mmm           yes
  254.  
  255. Cubic           23              23              no
  256.                 432             432             no
  257.                 2/m -3          m-3             yes
  258.                 -43m            -43m            no
  259.                 4/m -3 2/m      m-3m            yes
  260.  
  261.  
  262.  
  263.  
  264. Finally, here's a list of all possible crystal shapes. There are two
  265. different kinds of shapes, namely closed and open ones. A closed shape is
  266. one that is on all sides surrounded by faces, and thus is finite, while an
  267. open shape is infinite in at least one direction, and thus cannot occur as
  268. the only form of a crystal, but is always combined with other forms to make
  269. a closed convex polyhedron. The occurence of h,k,l in the Miller-indices
  270. means, they can be replaced by any number as long as the resulting symbol
  271. is different from other symbols in the list.
  272.  
  273. One word about those funny curly braces around {hkl}: In crystallography, we
  274. have to deal with single directions, denoted by square brackets [uvw], with
  275. complete sets of symmetry equivalent directions, denoted by angle brackets 
  276. <uvw>, with single planes, enclosed in parentheses (hkl), and with complete 
  277. sets of symmetry equivalent planes, which are marked by curly braces {hkl}.
  278.  
  279.  
  280.  
  281. Triclinic System
  282.  
  283. Possible Shapes:
  284.  
  285.  1  Pinacoids of different orientations (open)   
  286.  2  Pedions of different orientations (open)
  287.  
  288.  
  289. Occurrence of shapes in crystal classes:
  290.  
  291. Crystal Class                   Shape No.             
  292.  
  293.                 {001} {100} {010} {hk0} {h0l} {0kl} {hkl}
  294.  
  295. -1                Pinacoid of appropriate orientation 
  296. 1                  Pedion of appropriate orientation 
  297. _______________________________________________________________
  298.  
  299.  
  300. Monoclinic System
  301.  
  302. Possible Shapes:
  303.  
  304. No. Name                    Indices     Rem.
  305.  
  306.  1  mcl. Pinacoid           { 0 0 1 }   open
  307.  2  mcl. Pinacoid           { 1 0 0 }   open
  308.  3  mcl. Pinacoid           { 0 1 0 }   open
  309.  4  mcl. Prism              { h k 0 }   open
  310.  5  mcl. Pinacoid           { h 0 l }   open
  311.  6  mcl. Prism              { 0 k l }   open
  312.  7  mcl. Hemipyramid        { h k l }   open
  313.  
  314.  8  mcl. Pedion             { 0 0 1 }   open
  315.  9  mcl. Pedion             { 1 0 0 }   open
  316. 10  mcl. Doma               { h k 0 }   open
  317. 11  mcl. Pedion             { h 0 l }   open
  318. 12  mcl. Doma               { 0 k l }   open
  319. 13  mcl. Pyramid-Doma       { h k l }   open
  320. 14  mcl. Pedion             { 0 1 0 }   open
  321. 15  mcl. Sphenoid           { h k 0 }   open
  322. 16  mcl. Sphenoid           { 0 k l }   open
  323. 17  mcl. Pyramid-Sphenoid   { h k l }   open
  324.  
  325.  
  326. Occurrence of shapes in crystal classes:
  327.  
  328. Crystal Class                   Shape No.             
  329.  
  330.                 {001} {100} {010} {hk0} {h0l} {0kl} {hkl}
  331.  
  332. 2/m               1     2     3     4     5     6     7 
  333. m                 8     9     3    10    11    12    13 
  334. 2                 1     2    14    15     5    16    17 
  335.  
  336. ---------------------------------------------------------------
  337.  
  338.  
  339. Orthorhombic System 
  340.  
  341. Possible Shapes:
  342.  
  343. No. Name                    Indices     Rem.
  344.  
  345.  1  o'rhomb. Pinacoid       { 0 0 1 }   open
  346.  2  o'rhomb. Pinacoid       { 1 0 0 }   open
  347.  3  o'rhomb. Pinacoid       { 0 1 0 }   open
  348.  4  o'rhomb. Prism          { h k 0 }   open
  349.  5  o'rhomb. Prism          { h 0 l }   open
  350.  6  o'rhomb. Prism          { 0 k l }   open
  351.  7  o'rhomb. Bipyramid      { h k l }   closed
  352.  
  353.  8  o'rhomb. Pedion         { 0 0 1 }   open
  354.  9  o'rhomb. Doma           { h 0 l }   open
  355. 10  o'rhomb. Doma           { 0 k l }   open
  356. 11  o'rhomb. Pyramid        { h k l }   open
  357. 12  o'rhomb. Bisphenoid     { h k l }   closed
  358.  
  359.  
  360. Occurrence of shapes in crystal classes:
  361.  
  362. Crystal Class                   Shape No.             
  363.  
  364.                 {001} {100} {010} {hk0} {h0l} {0kl} {hkl}
  365.  
  366. 2/m 2/m 2/m       1     2     3     4     5     6     7 
  367. m   m   2         8     2     3     4     9    10    11 
  368. 2   2   2         1     2     3     4     5     6    12 
  369.  
  370. ---------------------------------------------------------------
  371.  
  372.  
  373. Tetragonal System
  374.  
  375.  
  376. Possible Shapes:
  377.  
  378. No. Name                    Indices     Rem.
  379.  
  380.  1  tetr. Base-Pinacoid     { 0 0 1 }   open
  381.  2  tetr. Prism II          { 1 0 0 }   open
  382.  3  tetr. Prism I           { 1 1 0 }   open
  383.  4  ditetr. Prism           { h k 0 }   open
  384.  5  tetr. Bipyramid II      { h 0 l }   closed
  385.  6  tetr. Bipyramid I       { h h l }   closed
  386.  7  ditetr. Bipyramid       { h k l }   closed
  387.  
  388.  8  tetr. Pedion            { 0 0 1 }   open
  389.  9  tetr. Pyramid II        { h 0 l }   open
  390. 10  tetr. Pyramid I         { h h l }   open
  391. 11  ditetr. Pyramid         { h k l }   open
  392. 12  tetr. Prism III         { h k 0 }   open
  393. 13  tetr. Bipyramid III     { h k l }   closed
  394. 14  tetr. Bisphenoid I      { h h l }   closed
  395. 15  tetr. Scalenohedron     { h k l }   closed
  396. 16  tetr. Trapezohedron     { h k l }   closed
  397. 17  tetr. Pyramid III       { h k l }   open
  398. 18  tetr. Bisphenoid II     { h 0 l }   closed
  399. 19  tetr. Bisphenoid III    { h k l }   closed
  400.  
  401.  
  402. Occurrence of shapes in crystal classes:
  403.  
  404. Crystal Class                   Shape No.             
  405.  
  406.                 {001} {100} {110} {hk0} {h0l} {hhl} {hkl}
  407.  
  408. 4/m 2/m 2/m       1     2     3     4     5     6     7 
  409. 4   m   m         8     2     3     4     9    10    11 
  410. 4/m               1     2     3    12     5     6    13 
  411. -4  2   m         1     2     3     4     5    14    15 
  412. 4   2   2         1     2     3     4     5     6    16
  413. 4                 8     2     3    12     9    10    17
  414. -4                1     2     3    12    18    14    19
  415.  
  416. ---------------------------------------------------------------
  417.  
  418.  
  419. Trigonal System
  420.  
  421. Possible Shapes:
  422.  
  423. No. Name                    Indices     Rem.
  424.  
  425.  1  hex. Base-Pinacoid      { 0 0 1 }   open
  426.  2  hex. Prism I            { 1 0 0 }   open
  427.  3  hex. Prism II           { 1 1 0 }   open
  428.  4  dihex. Prism            { h k 0 }   open
  429.  5  trig. Rhombohedron I    { h 0 l }   closed
  430.  6  hex. Bipyramid II       { h h l }   closed
  431.  7  trig. Scalenohedron     { h k l }   closed
  432.  
  433.  8  hex. Base-Pedion        { 0 0 1 }   open
  434.  9  trig. Prism I           { 1 0 0 }   open
  435. 10  ditrig. Prism I         { h k 0 }   open 
  436. 11  trig. Pyramid I         { h 0 l }   open
  437. 12  hex. Pyramid II         { h h l }   open
  438. 13  ditrig. Pyramid         { h k l }   open
  439. 14  hex. Prism III          { h k 0 }   open
  440. 15  trig. Rhombohedron II   { h h l }   closed
  441. 16  trig. Rhombohedron III  { h k l }   closed
  442. 17  trig. Prism II          { 1 1 0 }   open
  443. 18  ditrig. Prism II        { h k 0 }   open
  444. 19  trig. Bipyramid II      { h h l }   closed
  445. 20  trig. Trapezohedron     { h k l }   closed
  446. 21  trig. Prism III         { h k 0 }   open
  447. 22  trig. Pyramid II        { h h l }   open
  448. 23  trig. Pyramid III       { h k l }   open
  449.  
  450.  
  451. Occurrence of shapes in crystal classes:
  452.  
  453. Crystal Class                   Shape No.             
  454.  
  455.                 {001} {100} {110} {hk0} {h0l} {hhl} {hkl}
  456.  
  457. -3 2/m            1     2     3     4     5     6     7 
  458. 3  m              8     9     3    10    11    12    13 
  459. -3                1     2     3    14     5    15    16 
  460. 3  2              1     2    17    18     5    19    20 
  461. 3                 8     9    17    21    11    22    23
  462.  
  463. ---------------------------------------------------------------
  464.  
  465.  
  466. Hexagonal System
  467.  
  468. Possible shapes:
  469.  
  470. No. Name                    Indices         Rem.
  471.  
  472.  1  hex. Base-Pinacoid      { 0 0 1 }       open
  473.  2  hex. Prism I            { 1 0 0 }       open
  474.  3  hex. Prism II           { 1 1 0 }       open
  475.  4  dihex. Prism            { h k 0 }       open
  476.  5  hex. Bipyramid I        { h 0 l }       closed
  477.  6  hex. Bipyramid II       { h h l }       closed
  478.  7  dihex. Bipyramid        { h k l }       closed
  479.  
  480.  8  hex. Base-Pedion        { 0 0 1 }       open
  481.  9  hex. Pyramid I          { h 0 l }       open
  482. 10  hex. Pyramid II         { h h l }       open
  483. 11  dihex. Pyramid          { h k l }       open
  484. 12  hex. Prism III          { h k 0 }       open
  485. 13  hex. Bipyramid III      { h k l }       closed
  486. 14  hex. Trapezohedron      { h k l }       closed
  487. 15  hex. Pyramid III        { h k l }       open
  488. 16  trig. Prism I           { 1 0 0 }       open
  489. 17  ditrig. Prism           { h k 0 }       open
  490. 18  trig. Bipyramid I       { h 0 l }       closed
  491. 19  ditrig. Bipyramid       { h k l }       closed
  492. 20  trig. Prism II          { 1 1 0 }       open
  493. 21  trig. Prism III         { h k 0 }       open
  494. 22  trig. Bipyramid II      { h h l }       closed
  495. 23  trig. Bipyramid III     { h k l }       closed
  496.  
  497.  
  498. Occurrence of shapes in crystal classes:
  499.  
  500. Crystal Class                   Shape No.             
  501.  
  502.                 {001} {100} {110} {hk0} {h0l} {hhl} {hkl}
  503.  
  504. 6/m 2/m 2/m       1     2     3     4     5     6     7 
  505. 6   m   m         8     2     3     4     9    10    11 
  506. 6/m               1     2     3    12     5     6    13 
  507. 6   2   2         1     2     3     4     5     6    14 
  508. 6                 8     2     3    12     9    10    15
  509. -6  m   2         1    16     3    17    18     6    19
  510. -6                1    16    20    21    18    22    23
  511.  
  512. ---------------------------------------------------------------
  513.  
  514.  
  515. Cubic System
  516.  
  517. Possible shapes (all shapes are closed):
  518.  
  519. No. Name                                Indices
  520.  1  Cube                                { 1 0 0 }
  521.  2  Rhomb-Dodecahedron                  { 1 1 0 }
  522.  3  Tetrakis-Hexahedron                 { h k 0 }
  523.  4  Octahedron                          { 1 1 1 }
  524.  5  Triakis-Octahedron                  { h h l }
  525.  6  Icosi-Tetrahedron                   { h l l }
  526.  7  Hexakis-Octahedron                  { h k l }
  527.  
  528.  8  Tetrahedron                         { 1 1 1 }
  529.  9  Deltoid-Dodecahedron                { h h l }
  530. 10  Triakis-Tetrahedron                 { h l l }
  531. 11  Hexakis-Tetrahedron                 { h k l }
  532. 12  Pentagon-Dodecahedron               { h k 0 }
  533. 13  Dis-Dodecahedron                    { h k l }
  534. 14  Pentagon-Icositetrahedron           { h k l }
  535. 15  Tetrahedral Pentagon-Dodecahedron   { h k l } 
  536.  
  537.  
  538. Occurrence of shapes in crystal classes:
  539.  
  540. Crystal Class                   Shape No.             
  541.  
  542.                 {100} {110} {hk0} {111} {hhl} {hll} {hkl}
  543.  
  544. 4/m -3 2/m        1     2     3     4     5     6     7 
  545. -4   3 m          1     2     3     8     9    10    11 
  546. 2/m -3            1     2    12     4     5     6    13 
  547. 4    3 2          1     2     3     4     5     6    14 
  548. 2    3            1     2    12     8     9    10    15
  549.  
  550. ---------------------------------------------------------------
  551.  
  552. I hope, this quite abbreviated introduction is useful (and free of
  553. substantial errors). I tried to put in everything one needs to under-
  554. stand what XTAL4POV does, and I tried to write it down in a way even a 
  555. complete novice to crystallography hopefully can understand. I know this
  556. is not a masterpiece of literature, but I wrote this down from scratch today
  557. to get the program released as soon as possible.
  558.  
  559.